Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 當(dāng)時(shí)，區(qū)間單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減； （Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，只要求出導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間，由于中含有參數(shù)，應(yīng)按進(jìn)行分類討論；（Ⅱ）要證的不等式就是，為此我們記，求出它的最小值，證明最小值大于0即可．這可由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)易得．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是

當(dāng)時(shí)，

對(duì)任意恒成立，

所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，

由得，由得

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，要證明，

只需證明，設(shè)，

則問題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，

令得，

容易知道該方程有唯一解，不妨設(shè)為，則滿足

當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表

	－
	遞減		遞增

因?yàn)?/span>，且，所以，因此不等式得證。