Question

【題目】（Ⅰ）已知 是空間的兩個單位向量，它們的夾角為60°，設向量 ， ．求向量 與 的夾角； （Ⅱ）已知 是兩個不共線的向量， ．求證： 共面．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ 是兩個單位向量，所以| |=| |=1，由于其夾角為60° 所以向量 =cos60°=
∴ =（2 ） =﹣6 + =
| |= = =
同理| |= ，
所以cos＜ ＞= = =-
所以夾角120°
（Ⅱ） 證明：因為向量 是兩個不共線的向量
設 =x（ ）+y（ ）=（x+3y） +（x﹣2y） =2 +3
所以 ，
這表明存在實數 ， ，使
根據共面向量定理知：向量 共面
【解析】（Ⅰ）利用向量的夾角公式cos＜ ＞= 可求夾角余弦，進而可求夾角（Ⅱ）要證明 共面，只要證明存在實數x，y，使得 即可
【考點精析】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義和數量積表示兩個向量的夾角的相關知識點，需要掌握如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使；設、都是非零向量，，，是與的夾角，則才能正確解答此題．