Question

【題目】如圖所示，在矩形中，，，是的中點，為的中點，以為折痕將向上折起，使點折到點，且.

（1）求證: 面；

（2）求與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到，進而證得面；

（2）分別以、、為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）由題意，可得，，則，

取的中點，連，，可得，所以，

因為，，且，所以平面，

又因為平面，所以.

又由與為相交直線，所以平面.

（2）作交于，可知，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

可得，，，

設平面的法向量為，

則，令，可得平面的一個法向量為，

又由，

所以與面所成角的正弦值為.