Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點F₁，F₂距離之和為2

3

，離心率為

3

3

，動點P在直線x=3上，過F₂作直線PF₂的垂線l，設l交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,直線的斜率

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由條件得：

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設P（3，y₀），Q（x₁，y₁），由已知得2（x₁-1）+y₀y₁=0，由此能證明直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-

2

3

．

解答： （1）解：由條件得：

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，
解得：a=

3

，c=1，b=

2

，
∴橢圓E：

x2

3

+

y2

2

=1．（5分）
（2）證明：設P（3，y₀），Q（x₁，y₁），
∵PF₂⊥F₂Q，∴

PF2

•

F2Q

=0，
即：2（x₁-1）+y₀y₁=0，（7分）
又∵KPQKOQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-3

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -3x1

，且

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)，（10分）
代入化簡得：KPQKOQ=-

2

3

，
∴直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-

2

3

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．