Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當a=-6時，函數f（x）定義域和值域都是[1，

b

2

]，求b的值；
（Ⅱ）當a=-1時在區間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2b-1的圖象上方，試確定實數b的范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求函數f（x）的解析式f（x）=x^2_-6x+b，函數對稱軸為x=3，故在區間[1，3]單調遞減，在區間（3，+∞）單調遞增，再分類討論由函數單調性求最值求值域，解未知量即可，（2）轉化為函數求最值問題，即可得到個關于變量m的不等式，解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-6時，函數f（x）=x^2_-6x+b，函數對稱軸為x=3，故在區間[1，3]單調遞減，在區間（3，+∞）單調遞增．
①當2＜b≤6時，f（x）在區間[1，

b

2

]上單調遞減；故有

f(1)= b 2 f( b 2 )=1

，無解；
②當6＜b≤10時，f（x）在區間[1，3}上單調遞減，（3，

b

2

]上單調遞增，且f（1）≥f（

b

2

），故

f(1)= b 2 f(3)=1

，解得b=10；
③當b＞10時，f（x）在區間[1，3]上單調遞減，（3，

b

2

]上單調遞增，且f（1）＜f（2b），故

f( b 2 )= b 2 f(3)=1

，無解．∴b的值為10．
（Ⅱ）當a=-1時，f（x）=x^2_-x+b，
由題意則x^2_-x+b＞2x+2b-1對x∈[-1，1]恒成立，
化簡得b＜x^2_-3x+1，
令g（x）=x^2_-3x+1，x∈[-1，1]，圖象開口向上，對稱軸為x=

3

2

，在區間[-1，1]上單調遞減，則y_min=-1，
則b＜-1．

點評：本題考查函數的值域的求法，二次函數的單調性和最值，注意恒成立問題的轉化，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．