Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且，平面平面，，點為線段的中點，點是線段上的一個動點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當點是線段上的中點時，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）推導出和即可證明平面，再利用面面垂直判定即可

（Ⅱ）以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，再利用二面角向量公式求解

（Ⅰ）證明：∵四邊形是正方形，∴.

∵平面平面平面平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，點為線段的中點，∴.

又∵，∴平面.

又∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，

∵，∴平面.

∴，又，

∴，，兩兩垂直，以為原點，

以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

因為，∵.

，，，

又為的中點，，為的中點，,

，

設平面的法向量為，則，

∴，令，則，

∴，則,

∵平面，∴平面的一個法向量，

.

由圖知二面角的平面角為銳角，則二面角的平面角的余弦值為.