Question

【題目】如圖，扇形的半徑為，圓心角，點為弧上一點，平面且，點且，∥平面．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面和平面所成二面角的正弦值的大小.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）如圖，連接交于點，連接，結合∥平面，得到∥，從而求得，根據余弦定理得，得到，得到，因為平面，所以，得到平面，再利用面面垂直的判定定理證得平面平面；

（2）由（1）的條件，得到，建立空間直角坐標系，得到點的坐標，求得面的法向量，用法向量所成角的余弦值得到二面角的余弦值，再應用同角三角函數關系式求得其正弦值，得到答案.

（1）如圖，連接交于點，連接，

∥平面，∥，，，

，，，，

又，在中，根據余弦定理得，

，，，

又平面，，平面，

又平面，平面平面

（2）由（1）得，如圖建立空間直角坐標系，

，，，，

，，點且，，

設平面的法向量為，則，即，

令，得，，，

設平面的法向量為，則，即，即，令，得，，，

設平面和平面所成二面角的大小為，

則，，

∴平面和平面所成二面角的正弦值的大小為