【題目】橢圓C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，其左焦點到點P（2，1）的距離為 
． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
【答案】解：（Ⅰ）∵左焦點（﹣c，0）到點P（2，1）的距離為 
，∴ 
，解得c=1． 又 
，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．
∴所求橢圓C的方程為： 
．
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為3+4k2＞m2 ．
∴ 
， 
．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= 
= 
．
∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），kADkBD=﹣1，∴ 
，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴ 
．
化為7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k， 
．
， 且滿足3+4k2﹣m2＞0．
當m=﹣2k時，l：y=k（x﹣2），直線過定點（2，0）與已知矛盾；
當m=﹣ 
時，l：y=k 
，直線過定點 
．
綜上可知，直線l過定點，定點坐標為
【解析】（Ⅰ）利用兩點間的距離公式可得c，再利用橢圓的標準方程及其性質即可得出a，b；（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D，可得kADkBD=﹣1，即可得出m與k的關系，從而得出答案．
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【題目】設等比數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=2，且4S1 ， 3S2 ， 2S3成等差數列． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=|2n﹣5|an ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．
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【題目】已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn ， 且S1、S2、S4成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 
，求數列{bn}的前n項和Tn ．
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【題目】已知橢圓C： 
，左焦點 
，且離心率 
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．
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【題目】關于實數x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，則關于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是（ ）
A.（﹣ 
， 
）
B.（﹣2，3）
C.（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）
D.（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
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【題目】下列判斷正確的是 ． （填寫所有正確的序號） ①若sinx+siny= 
，則siny﹣cos2x的最大值為 
；
②函數y=sin（2x+ 
）的單調增區間是[kπ﹣ 
，kπ+ 
]，k∈Z；
③函數f（x）= 
是奇函數；
④函數y=tan 
﹣ 
的最小正周期是π．
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【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比數列，公比不為1．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn= 
，求數列{bn}的前n項和Tn ．
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【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A= 
，b2﹣a2= 
c2 ．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面積為3，求b的值．
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