Question

【題目】對于兩個定義域均為D的函數f（x），g（x），若存在最小正實數M，使得對于任意x∈D，都有|f（x）－g（x）|≤M，則稱M為函數f（x），g（x）的“差距”，并記作||f（x），g（x）||．

（1）求f（x）＝sinx（x∈R），g（x）＝cosx（x∈R）的差距；

（2）設f（x）＝（x∈[1,]），g（x）＝mlnx （x∈[1,]）．（e≈2.718）

①若m＝2，且||f（x），g（x）||＝1，求滿足條件的最大正整數a；

②若a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2） ①3．②{－2，＋2}．

【解析】

試題（1）由定義知求|sinx－cosx|最大值，根據三角函數配角公式得|sinx－cosx|＝|sin（x－）|≤，所以差距為（2） ①根據定義先研究函數h（x）＝f（x）－g（x）＝－2lnx單調性：（0,16）上單調減，（16,＋∞）上單調增，因為h（1）＝1，所以h（）－1，因此②由定義得－mlnx|≤2恒成立，利用變量分離法得對x∈（1，e]恒成立，分別利用導數求函數w（x）＝最小值及函數v（x）＝最大值即可

試題解析：（1）|f（x）－g（x）|＝|sinx－cosx|＝|sin（x－）|≤，當x＝kπ＋，k∈Z時取“＝”，所以||f（x），g（x）||＝

（2）①令h（x）＝f（x）－g（x）＝－2lnx．則h′（x）＝，令h′（x）＝0，則x＝16．列表：

x	（0,16）	16	（16,＋∞）
h′（x）	－	0	＋
h（x）	↘		↗

∵h（1）＝1；當a＝3時，h（）＝－3，由于＞16，因此＞2，所以－3＞－1；

當a＝4時，h（）＝e－4＜－1，故滿足條件的最大正整數為3．

②法一：由a＝2，且||f（x），g（x）||＝2，得|f（x）－g（x）|≤2，從而|－mlnx|≤2，所以－2≤－mlnx≤2．

當x＝1時，上式顯然成立；

當x∈（1，e]時，上式化為

令w（x）＝，則w′（x）＝＜0，

從而w（x）在（1，e]上遞減，從而w（x）min＝w（e）＝＋2，從而m≤＋2；

令v（x）＝，則v′（x）＝＞0，

從而v（x）在（1，e]上遞增，從而v（x）max＝v（e）＝－2，從而m≥－2，

所以－2≤m≤＋2

又由于||f（x），g（x）||＝2，故m＝－2或m＝＋2，所以m的取值范圍為{－2，＋2}．

法二：令h（x）＝f（x）－g（x）＝－mlnx，則h′（x）＝．

（1）若m≤，則h′（x）≥0，從而h（x）在[1,e]上遞增，又h（1）＝1，h（e）＝－m，所以－m＝2，m＝－2；

（ii）若m≥，則h′（x）≤0，從而h（x）在[1,e]上遞減，又h（1）＝1，h（e）＝－m，所以－m＝－2，m＝－2；

（iii）若＜m＜，則由h′（x）＝0，可得x＝4m2，列表

x	1	（1, 4m2）	4m2	（4m2,e）	e
h′（x）		－	0	＋
h（x）	1	↘	2m－mln（4m2）	↗	－m

因為－m＜－＜2，所以2m－mln（4m2）＝－2，．

令u（m）＝2m－mln（4m2）＝m（2－ln4）－2mlnm

∴u′（m）＝2－ln4－2－2lnm＝－ln4－2lnm＝－2 ln2m＜0，

∴u（m）＞u（）＝－＝，故該情況不成立．

綜上，m的取值范圍是{－2，＋2}．