Question

已知函數f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期為3π．在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用倍角公式以及輔助角公式將函數進行化簡即可得到結論．

解答： 解：f （x）=

3

sin（ωx）-2•

1-cos(ωx)

2

=

3

sin（ωx）+cos（ωx）-1=2sin（ωx+

π

6

）-1…（2分）
依題意函數f（x）的最小正周期為3π，即

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

，所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1．…（4分）
由f（C）=2sin（

2C

3

+

π

6

）-1及f（C）=1，得sin（

2C

3

+

π

6

）=1，…（6分）
∵0＜C＜π，∴

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

，
∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

2

，…（8分）
在Rt△ABC中，∵A+B=

π

2

，2sin²B=cosB+cos（A-C），
∴2cos²A-sinA-sinA=0，
∴sin²A+sinA-1=0，解得sinA=

-1± 5

2

，…（11分）
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

5 -1

2

 …（12分）

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數進行化簡，根據周期公式求出函數的解析式是解決本題的關鍵．