Question

圓M的方程為x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0(R＞0).

(1)求該圓圓心M的坐標以及圓M的半徑；

(2)當R固定，α變化時，求圓心M的軌跡，并證明此時不論α取什么值，所有的圓M都外切于一個定圓.

Answer 1

解析:本題中所給的圓方程中的變數有多個，此時要結合題意分清究竟是哪個真正在變，而像這樣的具體題目尤其容易犯弄不清真正的參數的錯誤.

解:(1)由題意得圓M的方程為(x-2Rcosα)²+(y-2Rsinα)²=R²，

故圓心為M(2Rcosα,2Rsinα)，半徑為R.?

(2)當α變化時，圓心M的軌跡方程為(其中α為參數)，兩式平方相加得x²+y²=4R²，所以圓心M的軌跡是圓心在原點，半徑為2R的圓.?

由于=2R=3R-R，=2R=R+R,?

所以所有的圓M都和定圓x²+y²=R²外切，和定圓x²+y²=9R²內切.

點評:本題所給的方程中含有多個變數，看起來都可變，像這樣的問題有時容易分不清楚哪個是真正的參數.在具體題目中究竟哪個是真正的參數應視題目給定的條件，從而去分清參數.