Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，點O，D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC．
（1）求證OD∥平面PAB；
（2）求直線OD與平面PBC所成角的正弦值的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由此能求出OD∥PA，PA?平面PAB，OD不包含于平面PAB，OD∥平面PAB．
（2）由已知得OA=OB=OC，取BC中點E，連結PE，作OF⊥PE于F，連結DF，∠ODF是OD與平面PBC所成的角．OD與平面PBC所成的角正弦值．

解答： （1）證明：∵O、D分別為AC、PC的中點，
∴OD∥PA，又PA?平面PAB，OD不包含于平面PAB，
∴OD∥平面PAB．（6分）
（2）解：∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC．
取BC中點E，連結PE，則BC⊥平面POE．
作OF⊥PE于F，連結DF，則OF⊥平面PBC，
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．
在Rt△ODF中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

．
∴OD與平面PBC所成的角正弦值為

210

30

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養．