Question

已知函數f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

，且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1，2）．
（1）求φ；
（2）計算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數的化簡求值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據振幅、周期性、過定點確定其解析式；
（2）利用周期性進行求解．

解答： 解：（1）y=Asin²（ωx+φ）=

A

2

-

A

2

cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值為2，A＞0．
∴A=2．
又∵其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，
∴

2π

2ω

=2×2，ω=

π

4

，
∴f（x）=1-cos（

π

2

x+2φ）=1-cos（

π

2

x+2φ），
∵y=f（x）過（1，2）點，
∴cos（

π

2

+2φ）=-1，
∴

π

2

+2φ=2kπ+π，k∈Z，
∴2φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

4

，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）根據（1）知，函數的周期為4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期為4，2014=4×503+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=4×503+f（1）+f（2）=2012+3=2015．

點評：本題重點考查了三角恒等變換公式、三角公式、函數的周期性等知識，屬于中檔題，解題關鍵是掌握三角函數值在各個象限內的符號：一全正，二正弦，三兩切，四余弦．