Question

已知等差數列{a_n}，公差d＞0，a₁+a₂+a₃=6，且a₃-a₁，2a₂，a₈成等比數列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

an

2n

，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數列的通項公式和等比數列的性質求出等差數列的首項和公差，由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=

an

2n

=

n

2n

，利用錯位相減法能證明b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

解答： （Ⅰ）解：∵等差數列{a_n}，公差d＞0，a₁+a₂+a₃=6，且a₃-a₁，2a₂，a₈成等比數列，
∴

3a2=6 (2a2)2=2d(a2+6d) d＞0

．
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）證明：∵b_n=

an

2n

=

n

2n

，
∴令S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

n+2

2n

＜2．故b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．