Question

【題目】在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，,, 分別為的中點，點在線段上.

（Ⅰ）求證：直線平面；

（Ⅱ）若為的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）設，當為何值時，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見證明；(Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

（Ⅰ）因為，，所以，即。又由題意可知底面，所以，由線面垂直的判定定理即可得證。

（Ⅱ）分別以為軸、軸和軸正方向建系，利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值。

（Ⅲ）由結合（2），可得，，又平面 ，根據線面角的余弦值即可求解。

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因為，，所以.

所以.

因為側面底面，且，面面

且面所以底面.

又因為底面，所以.

又因為，平面，平面，

所以平面

（Ⅱ）解：因為底面，，所以兩兩垂直，故以分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，

則，

設平面的法向量為，

由，，得

令,得.

為的中點，由（1）知，平面且，

所以 ，

平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）設，則，所以，

由（1）知.直線與平面所成的角正弦值為

所以，即，

解得.或 （舍）