Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，直線l經(jīng)過與橢圓交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)與y軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線l不垂直于x軸，若滿足，求t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率及通徑即可得的等量關(guān)系,進(jìn)而求得的值,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)易得,當(dāng)不與x軸平行時(shí),設(shè),,.聯(lián)立橢圓方程,由韋達(dá)定理表示出PQ中點(diǎn),進(jìn)而表示出直線的方程,用表示出,即可求得的取值范圍.

（1）當(dāng)與y軸的交點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí),軸,PQ為通徑

由

得,,

橢圓方程

（2）當(dāng)l與x軸重合,PQ為長軸二端點(diǎn),T為原點(diǎn),此時(shí)

否則設(shè),由題意,代入橢圓方程

,恒成立

設(shè),,設(shè)PQ中點(diǎn)

則,

直線DT的斜率為,,,

得

∴

綜上,