Question

【題目】已知函數的定義域為，當時，，且對任意的實數，等式恒成立，若數列滿足，且，則的值為（ ）

A.4037B.4038C.4027D.4028

Answer 1

【答案】A

【解析】

由，對任意的實數，等式恒成立，且，得到an+1＝an+2，由等差數列的定義求得結果．

∵，∴f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，∵f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

∴令x＝﹣1，y＝0，則f（﹣1）f（0）＝f（﹣1），∵當x＜0時，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，

則f（0）＝1，則f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，等價為f（an+1）f（﹣2﹣an）＝f（0），

即f（an+1﹣2﹣an）＝f（0），則an+1﹣2﹣an＝0，∴an+1﹣an＝2.

∴數列{an}是以1為首項，以2為公差的等差數列，首項a1＝f（0）＝1，

∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝2×2019﹣1＝4037.

故選：A