Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上運動，直線PA與y軸交于點D，則k_PA²+2k_BD的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右頂點分別為A（-2，0），B（2，0），設點P（2cosα，

3

sinα），D（0，t），運用直線的斜率公式，再令t=

3 sinα

1+cosα

，運用二倍角公式，可得t的范圍，則k_PA²+2k_BD=

1

4

t2-t=

1

4

（t-2）²-1，由t的范圍，即可得到所求范圍．

解答： 解：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右頂點分別為A（-2，0），B（2，0），
設點P（2cosα，

3

sinα），D（0，t），（t≥0）
則k_PA=

3 sinα

2(cosα+1)

∈[0，

3

2

]，
由P，A，D共線，可得

t

2

=

3 sinα

2(cosα+1)

，解得，t=

3 sinα

1+cosα

∈[0，

3

]，
即有D（0，

3 sinα

1+cosα

），k_BD=

3 sinα

-2(1+cosα)

，
則k_PA²+2k_BD=

1

4

t2-t=

1

4

（t-2）²-1，
則[0，

3

]為遞減區間，
t=0時，取得最大值0，t=

3

時，取得最小值

3

4

-

3

．
所求取值范圍是[

3

4

-

3

，0]
故答案為：[

3

4

-

3

，0]．

點評：本題考查橢圓的參數方程及應用，考查直線的斜率公式的運用，考查二次函數的最值，屬于中檔題．