Question

設正三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且該正三棱柱的底面邊長為

3

，側棱長為2，則該球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體,球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：根據正三棱柱的對稱性，它的外接球的球心在上下底面中心連線段的中點．再由正三角形的性質和勾股定理，結合題中數據算出外接球半徑，用球表面積公式即可算出該球的表面積．

解答： 解：設三棱柱ABC-A′B′C′的上、下底面的中心分別為O、O′，
根據圖形的對稱性，可得外接球的球心在線段OO′中點O₁，
∵OA=

3

3

AB=1，OO₁=

1

2

AA′=1
∴O₁A=

2

因此，正三棱柱的外接球半徑R=

2

，可得該球的表面積為S=4πR²=8π
故答案為：8π．

點評：本題給出所有棱長均為2的正三棱柱，求它的外接球的表面積，著重考查了正三棱柱的性質、球的內切外接性質和球的表面積公式等知識，屬于基礎題．