Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，過AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l.下面給出了四個命題：這四個命題中，真命題的個數為（ ）

①l∥AC；

②BM⊥AC；

③l和AD1所成的角為60°；

④線段BM長度的最小值為.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得BD⊥平面A1ACC1，可得面A1ACC1為平面α，再判斷；②結合①根據底面是正方形判斷.③利用異面直線所成的角的定義判斷.④利用垂線段最短，當M是A1C1的中點時求解判斷.

如圖所示：

由ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得BD⊥平面A1ACC1，

即平面A1ACC1為平面α，直線A1C1為l，則l∥AC，故①正確；

由M∈l，即M∈A1C1，只有當M為A1C1的中點時，有BM⊥AC，

當M在l上其它位置時，BM與AC不垂直，故②錯誤；

由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即為l和AD1所成角，

∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③錯誤；

由A1B＝BC1，可知當M是A1C1的中點時，BM⊥A1C1，

此時線段BM取得最小值，且BM，∴④錯誤.

故只有①正確.

故選：A.