Question

已知-1≤x+y≤4，且2≤x-y≤3，則z=2x-3y的取值范圍是

 

（用區(qū)間表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：法一：利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，
法二：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：法1：∵z=-

1

2

（x+y）+

5

2

（x-y），
∴3≤-

1

2

（x+y）+

5

2

（x-y）≤8，
∴z∈[3，8]．
法2：由z=2x-3y得y=

2

3

x-

z

3

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=

2

3

x-

z

3

，由圖象可知當(dāng)直線y=

2

3

x-

z

3

，過(guò)點(diǎn)C（1，-2）時(shí)，直線y=

2

3

x-

z

3

截距最小，此時(shí)z最大，
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x-3y，
得z=2×1-3×（-2）=8．
當(dāng)直線y=

2

3

x-

z

3

，過(guò)點(diǎn)A（3，1）時(shí)，直線y=

2

3

x-

z

3

截距最大，此時(shí)z最小，
代入目標(biāo)函數(shù)z=2×3-3=3，
∴z∈[3，8]．
故答案為：[3，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．也可以利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．