Question

如圖，某風景區準備美化以快直徑為AB的半圓形空地，O為圓心，C為圓周上一點，CD⊥AB于D，已知AB為一假山壁，若以山壁為一邊，△ACD內為一噴泉，△ACD外栽種花草，若AB=200米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）試用θ表示y；
（2）現一架飛機在風景區上空向半圓區域空投一怕水小物品，假設把物品看為質點，且物品落入半圓各點的機會相等，求當y取最大值時，物品落入花草地的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,函數解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）連接CB，則AC⊥CB，求出AC=ABcosθ=100cosθ．然后求出函數的解析式．
（2）求出函數的導數，通過導數為0，求出θ=30°．通過當0°＜θ＜30°時，當30°＜θ＜90°時，判斷函數的單調性，說明θ=30°時函數取得最大值，求解即可．

解答： 解：（1）連接CB，則AC⊥CB，
又AB=200，∠CAB=θ，∴AC=ABcosθ=100cosθ．
又CD⊥AB，∴CD=ACsinθ=100sinθcosθ．
∴y=200（1+sinθ）cosθ，（0＜θ＜

π

2

）．
（2）y′=[200（1+sinθ）cosθ]′=[200cosθ+50sin2θ]′=200（-sinθ+cos2θ）．
由y′=0得sinθ=

1

2

或sinθ=-1（舍去）．
∴θ=30°．
當0°＜θ＜30°時，y′＞0，則y在（0，30°）遞增．
當30°＜θ＜90°時，y′＜0，則y在（30°，90°）遞減．
∴當θ=30°時函數取得最大值y_max=200（1+sin30°）cos30°=150

3

．
∵AB=200，∴AC=100

3

，CD=50

3

，
∴S_△ACD=

1

2

×100

3

×50

3

×

3

2

=3750

3

，
∴當y取最大值時，物品落入花草地的概率1-

3750 3

20000π

=1-

3 3

16π

．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，函數的導數的應用，函數的最大值的求法，考查計算能力．