Question

設函數f（x）=x²+bx+c，且f（1）=-

1

2

．
（1）求證：函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁、x₂是函數f（x）的兩個零點，求|x₁-x₂|的取值范圍．
（3）求證：函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點．

Answer 1

（1）證明：∵f（1）=1+b+c=-

1

2

，∴b+c=-

3

2

．
∴c=-

3

2

-b．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+bx-

3

2

-b，
判別式△=b²-4（-

3

2

-b）=b²+4b+6
=（b+2）²+2＞0恒成立，故函數f（x）有兩個零點
（2）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-

3

2

-b
∴|x₁-x₂|=

△

|a|

=

(b+2)2+2

≥

2

∴|x₁-x₂|的取值范圍為[

2

，+∞）
（3）f（0）=c，f（2）=4+2b+c，由（I）知b+c=-

3

2

，∴f（2）=1-c．
（i）當c＞0時，有f（0）＞0，而f（1）=-

1

2

＜0，故函數f（x）在區間（0，1）內有一個零點，
故在區間（0，2）內至少有一個零點．
（ii）當c≤0時，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=1-c＞0，∴函數f（x）在區間（1，2）內有一零點，
綜合（i）（ii），可知函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點