Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且滿足f（x-2）=-ax²+（7a+3）x+a+10．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）-bx，若當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，g（x）的最大值為

11

2

，求b的值；
（3）若當(dāng)x∈[2，+∞），y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=cx圖象上方，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由圖象的平移規(guī)律，可得f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，運(yùn)用對(duì)稱軸方程解得a=-1，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）求出對(duì)稱軸方程，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性計(jì)算即可得到b；
（3）由題意可得x²+5＞cx在x≥2時(shí)恒成立．運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出不等式右邊的最小值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
則y=f（x-2）的圖象可由f（x）的圖象向右平移2個(gè)單位得到，
即有f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
由

7a+3

2a

=2，解得a=-1，
f（x-2）=x²-4x+9=（x-2）²+5，
則f（x）=x²+5；
（2）g（x）=f（x）-bx=x²-bx+5，對(duì)稱軸為x=

b

2

，
當(dāng)

b

2

≤

1

2

，即b≤1時(shí)，區(qū)間[

1

2

，1]為增區(qū)間，則g（1）最大，且為6-b=

11

2

，解得b=

1

2

；
當(dāng)

1

2

＜

b

2

＜1，即1＜b＜2時(shí)，則g（

1

2

）或g（1）最大，且為

11

2

，解得，b=-

1

2

（舍去），或b=

1

2

（舍去）；
當(dāng)

b

2

≥1，即b≥2時(shí)，區(qū)間[

1

2

，1]為減區(qū)間，則g（

1

2

）最大，且為

21

4

-

b

2

=

11

2

，解得b=-

1

2

舍去．
綜上可得，b=

1

2

；
（3）當(dāng)x∈[2，+∞），y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=cx圖象上方，
即有x²+5＞cx在x≥2時(shí)恒成立．
則有c＜

x2+5

x

=x+

5

x

，由于x+

5

x

的導(dǎo)數(shù)為1-

5

x2

，當(dāng)x＞

5

時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)遞增；
當(dāng)2≤x＜

5

時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)遞減，
則x=

5

處函數(shù)取得最小值且為2

5

．
則c＜2

5

．
則實(shí)數(shù)c的取值范圍為（-∞，2

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．