Question

已知定義在R上的函數f（x）的圖象連續不斷，若存在常數 t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0對任意的實數x成立，則稱f（x）是回旋函數．給出下列四個命題：
①常值函數 f（x）=a（a≠0）為回旋函數的充要條件是t=-1；
②若 y=a^x（0＜a＜1）為回旋函數，則t＞l；
③函數 f（x）=x²不是回旋函數；
④若f（x）是t=2的回旋函數，則f（x）在[0，4030]上至少有2015個零點．
其中為真命題的是

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：①利用回旋函數的定義即可．②若指數函數y=a^x為階數為t回旋函數，根據定義求解，得矛盾結論．
③利用回旋函數的定義，令x=0，則必須有a=0；令x=1，則有a²+3a+1=0，故可判斷；．
④由定義得到f（x+2）=-2f（x），由零點存在定理得，在區間（x，x+2）上必有一個零點令x=0，2，2×2，3×2，…，2015×2，即可得到．

解答： 解：對于①函數f（x）=2為回旋函數，則由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故結論正確．
對于②，若指數函數y=a^x為階數為t回旋函數，則a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴結論不成立．
對于③若（x+a）²+ax²=0對任意實數都成立，令x=0，則必須有a=0，令x=1，則有a²+3a+1=0，顯然a=0不是這個方程的解，故假設不成立，該函數不是回旋函數，故結論正確，
對于④：若若f（x）是t=2的回旋函數，則f（x+2）+2f（x）=0對任意的實數x都成立，即有f（x+2）=-2f（x），則f（x+2）與f（x）異號，由零點存在定理得，
在區間（x，x+2）上必有一個零點，可令x=0，2，4，6，…，2015×2，則函數f（x）在[0，4030]上至少存在2015個零點．故結論正確
故答案為：①③④．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數的周期、函數的零點注意轉化為函數的圖象的交點個數，考查數形結合的能力，以及運算能力，屬于中檔題．