Question

【題目】已知函數f（x）=（2x2﹣3x）ex
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若方程（2x﹣3）ex= 有且僅有一個實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可得：f′（x）=（2x2+x﹣3）ex

令f′（x）＜0，得：2x2+x﹣3＜0，解得：

∴函數f（x）的單調遞減區間是 ．

（2）解：∵方程 有且僅有一個實根

∴方程（2x2﹣3x）ex=a有且僅有一個非零實根，即方程f（x）=a，（x≠0）有且僅有一個實根．

因此，函數y=f（x），（x≠0）的圖象與直線y=a有且僅有一個交點．

結合（1）可知，函數f（x）的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是

∴函數f（x）的極大值是 ，極小值是f（1）=﹣e．

又∵ 且x＜0時，f（x）＞0．∴當 或a=0或a=﹣e時，

函數y=f（x），（x≠0）的圖象與直線y=a有且僅有一個交點．

∴若方程 有且僅有一個實根，

實數a的取值范圍是

【解析】（1）求函數f（x）的導數，利用導數小于0，求解單調遞減區間；（2）分離變量，通過函數的圖象的交點個數，判斷零點個數，利用單調性求解函數的極值，推出結果即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．