Question

函數y=sin²x+2cosx在區間[-

2π

3

，θ]上的最小值為-

1

4

，則θ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：依題意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，設t=cosx，有y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或t=

5

2

，而cosx≤1，可求得x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），在坐標系中畫出函數y=cosx的圖象后，數形結合即可求得θ的取值范圍．

解答： 解：由題意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，設t=cosx，
則函數y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或t=

5

2

，
∵cosx≤1，
∴t=-

1

2

，即cosx=-

1

2

，x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），
在坐標系中畫出函數y=cosx的圖象：

由圖和x∈[-

2π

3

，θ]知，θ∈(-

2π

3

，

2π

3

]時，函數的最小值為-

1

4

，
故答案為：(-

2π

3

，

2π

3

]．

點評：本題考查三角函數的最值，著重考查二次函數的單調性質及余弦函數的圖象與性質，考查分析、解答問題的能力，屬于中檔題．