Question

【題目】已知命題P：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個(gè)實(shí)根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對(duì)任意m∈R恒成立；命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命題p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x1+x2=m，x1x2=﹣1，
|x1﹣x2|= ，
∴當(dāng)m∈R時(shí)，|x1﹣x2|min=2．
由不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|對(duì)任意m∈R恒成立，
得：a2+4a﹣5≤0，
∴﹣5≤a≤1；
∴命題p為真命題時(shí)﹣5≤a≤1．
命題p為假命題時(shí)a＞1或a＜﹣5；
命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，
①當(dāng)a＞0時(shí)，顯然有解，
②當(dāng)a=0時(shí)，2x﹣1＞0有解，
③當(dāng)a＜0時(shí)，∵ax2+2x﹣1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0；
從而命題p：不等式ax2+2x﹣1＞0有解時(shí)a＞﹣1
∴命題q是真命題時(shí)a＞﹣1，命題q是假命題時(shí)a≤﹣1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p與q有且僅有一個(gè)為真．（1）當(dāng)命題p是真命題且命題q是假命題時(shí)﹣5≤a≤﹣1；（2）當(dāng)命題p是假命題且命題q是真命題時(shí)a＞1；
綜上所述：a的取值范圍為：﹣5≤a≤﹣1或a＞1
【解析】化簡(jiǎn)命題p，q；由p∨q為真命題，p∧q為假命題知p與q有且僅有一個(gè)為真．從而得出a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用復(fù)合命題的真假，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真即可以解答此題．