Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側棱PD=a，PA=PC=

2

a．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求證：∠PCD為二面角P-BC-D的平面角．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由題意及圖形利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）由（1）可得PD⊥AC，又四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，由線面垂直的判定定理得到AC⊥平面PBD，進一步利用面面垂直的判斷證明；
（3）由（1）可得PD⊥BC，又BC⊥CD，由線面垂直的判斷得到BC⊥平面PCD，利用線面垂直的性質定理得到所證．

解答： （1）證明：∵PA=PC=

2

a，PD=a
∴PD²+AD²=PA²，即PD⊥AD，
又∵PD⊥CD．AD∩CD=D
∴PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）可得PD⊥AC，又四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，
所以 AC⊥平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD；
（3）由（1）可得PD⊥BC，又BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，
所以BC⊥CD，BC⊥PC，
所以∠PCD為二面角P-BC-D的平面角．

點評：本題考查了線面垂直的判定定理和性質定理的運用，關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理和性質定理．