Question

【題目】已知橢圓C1： +y2=1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上， =2 ，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 的長軸長為4，離心率為

∵橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率

∴橢圓C2的焦點在y軸上，2b=4，為

∴b=2，a=4

∴橢圓C2的方程為 ；

（2）解：設A，B的坐標分別為（xA，yA），（xB，yB），

∵ =2

∴O，A，B三點共線，且點A，B不在y軸上

∴設AB的方程為y=kx

將y=kx代入 ，消元可得（1+4k2）x2=4，∴

將y=kx代入 ，消元可得（4+k2）x2=16，∴

∵ =2 ，∴ =4 ，

∴ ，解得k=±1，

∴AB的方程為y=±x

【解析】（1）求出橢圓 的長軸長，離心率，根據橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率，即可確定橢圓C2的方程；（2）設A，B的坐標分別為（xA ， yA），（xB ， yB），根據 =2 ，可設AB的方程為y=kx，分別與橢圓C1和C2聯立，求出A，B的橫坐標，利用 =2 ，即可求得直線AB的方程．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．