Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為1，動點P，Q分別在棱BC，CC₁上，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，設BP=x，CQ=y，其中x，y∈[0，1]，下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的編號）
①當x=0時，S為矩形，其面積最大為1；
②當x=y=

1

2

時，S為等腰梯形；
③當x=

1

2

，y∈（

1

2

，1）時，設S與棱C₁D₁的交點為R，則RD₁=2-

1

y

；
④當y=1時，以B₁為頂點，S為底面的棱錐的體積為定值

1

3

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面，再判斷每一個選項是否正確．

解答： 解：對于①，當x=0時，過點A，P，Q的截面S是矩形，其面積最大是1×

2

=

2

，∴①錯誤；
對于②，當x=y=

1

2

時，如圖所示，
過點A，P，Q的截面S是等腰梯形，∴②正確；
對于③，當x=

1

2

，y∈（

1

2

，1）時，設S與棱C₁D₁的交點為R，如圖，
延長DD₁，使DD₁∩QR=N，連接AN交A₁D₁于S，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N，
可得RD₁=2-

1

y

，∴③正確；
④當y=1時，以B₁為頂點，S為底面的棱錐B₁-APC₁M如圖所示，
該四棱錐的體積為VB1-APC1M=2VB1-PC1M=2VP-B1C1M
=2×

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

，∴④正確．

點評：本題考查了空間幾何體的應用問題，解題時應根據題意，畫出對應的幾何圖形，結合圖形解答問題，是中檔題目．