Question

已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圓C：（x-1）²+（y-2）²=25
（1）求直線l經過的定點坐標；
（2）求證：直線l與圓C總相交（提示：只需證明直線l經過圓內的一點）；
（3）求出相交弦長的最小值及對應的m值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,證明題,直線與圓

分析：（1）將直線化簡為（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，然后令2x+y-7=0，x+y-4=0，解方程組即可得到定點坐標；
（2）由（1）得，直線l過定點A（3，1），求出AC的距離，與圓的半徑半徑，說明A在圓內，即可得證；
（3）直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，從而可求m的值，求出弦心距，可得直線l被圓C截得的弦長的最小值．

解答： （1）解：由直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0
對于任意實數m，要使上式成立，必須

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得：

x=3 y=1

所以直線l過定點A（3，1）；
（2）證明：由（1）得，直線l過定點A（3，1），
圓C：（x-1）²+（y-2）²=25圓心為C（1，2），半徑為5．
|AC|=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜5，即有A在圓內，
則有直線l與圓C總相交；
（3）解：直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l，
∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，圓心（1，2），半徑為5
∴CA的斜率為

2-1

1-3

=-

1

2

，
∴l的斜率為2，
∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率為-

2m+1

m+1

，
∴-

2m+1

m+1

=2，
∴m=-

3

4

，
∵|CA|=

4+1

=

5

，
∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2

25-5

=4

5

．
則相交弦長的最小值是4

5

，對應的m=-

3

4

．

點評：本題考查直線恒過定點，考查直線和圓的位置關系及弦長的計算，解題的關鍵是掌握圓的特殊性，屬于中檔題．