Question

如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，E、F分別為AB、SC的中點，且AD=SD=2，DC=3．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：EF∥平面SAD；
（3）求異面直線AD、EF所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據四棱錐的體積公式即可得到結論．
（2）證明EF∥平面SAD，利用線面平行的判定，證明線線平行即可，設SD的中點為G，連接GF、AG，證明EF∥AG，即可得到結論；
（3）∠GAD（或其補角）為異面直線AD，EF所成角，在Rt△GDA中，利用余弦函數可求；

解答： （1）解：∵SD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，且AD=SD=2，DC=3，
∴四棱錐S-ABCD的體積V=

1

3

×2×2×3=4．
（2）證明：設SD的中點為G，連接GF、AG，則可知GF∥DC且GF=

1

2

CD
又E為AB的中點，故AE∥DC，AE=

1

2

CD
∴GF∥AE，且GF=AE
∴四邊形AEFG為平行四邊形，
∴EF∥AG．
又EF?平面SAD，AG?平面SAD
∴EF∥平面SAD
（3）解：由（2）知，EF∥AG，所以∠GAD（或其補角）為異面直線AD，EF所成角．
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥DA
在Rt△GDA中，AD=2，GD=1，故GA=

5

，
∴cos∠GAD=

AD

AG

=

2 5

5

，
即異面直線AD，EF所成角的余弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查線面平行，考查線線角，以及棱錐的條件的計算，要求熟練掌握相應的計算公式和判定定理．