Question

【題目】已知各項均為正數的數列的前n項和為，，且對任意n，恒成立.

（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（2）設，已知，，(2＜i＜j)成等差數列，求正整數i，j.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）i＝4，j＝5

【解析】

（1）根據題目所給遞推關系式證得數列是等差數列，由此得到.利用求得數列的通項公式.

（2）由（1）求得的表達式，由成等差數列列方程，分成和兩種情況進行分類討論，由此求得整數.

（1）∵，

∴，

∵數列各項均為正數，∴，等式兩邊同時除以，

得，故數列是等差數列，首項為2，公差為0，

∴，即①，，求得，

∴(n≥2)②，①﹣②得，即，

又，∴對任意n，數列是以2為首項，2為公比的等比數列

故數列的通項公式為；

（2），

∴，，，

∵，，(2＜i＜j)成等差數列，

∴，

變形得(*)，

①當時，，

令(i≥3)，則(i≥3)，

∴數列單調遞減，故，

∴，，故時*式不成立，

②當時，*式轉化為，解得i＝4，故j＝5.