Question

已知直線l：x+y=m和曲線C：y²=4（x+4）（-4≤x≤4）．
（1）直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）聯(lián)立

x+y=m y2=4(x+4)

，化為x²-（4+2m）x+m²-16=0，令△=0，解得m=-5．把x=4代入拋物線方程可得y²=4×8，取y=-4

2

．把(4，-4

2

)代入直線x+y=m，可得m=4-4

2

．即可得出m的取值范圍．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由（1）可得x₁+x₂=4+2m，x₁x₂=m²-16．利用弦長公式可得|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

2m+10

．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線l的距離d=

|m|

2

．利用S_△OAB=

1

2

d•|AB|=2

m2(m+5)

．令f（m）=m³+5m²，m∈(-5，4-4

2

]．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）聯(lián)立

x+y=m y2=4(x+4)

，化為x²-（4+2m）x+m²-16=0，
令△=（4+2m）²-4（m²-16）=0，解得m=-5．
把x=4代入拋物線方程可得y²=4×8，取y=-4

2

．
把(4，-4

2

)代入直線x+y=m，可得m=4-4

2

．
∴-5＜m≤4-4

2

．
∴m的取值范圍是(-5，4-4

2

]；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）可得x₁+x₂=4+2m，x₁x₂=m²-16．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4+2m)2-4(m2-16)]

=4

2m+10

．
原點(diǎn)O到直線l的距離d=

|m|

2

．
∴S_△OAB=

1

2

d•|AB|
=

1

2

×

-m

2

×4

2m+10

=2

m2(m+5)

．
令f（m）=m³+5m²，m∈(-5，4-4

2

]．
f′（m）=3m²+10m=3m(m+

10

3

)．
令f′（m）＞0，解得-5＜m＜-

10

3

，此時(shí)函數(shù)f（m）單調(diào)遞增；令f′（m）＜0，解得-

10

3

＜m≤4-4

2

，此時(shí)函數(shù)f（m）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)m=-

10

3

時(shí)，函數(shù)f（m）取得極大值即最大值

500

27

．
∴△AOB面積取得最大值2

500 27

=

20 15

9

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△≥0及其根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．