Question

【題目】設直線與橢圓相交于，兩個不同的點，與軸相交于點，為坐標原點.

（1）證明：；

（2）若，求的面積取得最大值時橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）的面積取得最大值時橢圓的方程是.

【解析】

（1）設直線l的方程為y=k（x+1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線l與橢圓相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，從而解決問題；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得，由=3得y2=，從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值及取值最大值時的k值，從而△OAB的面積取得最大值時橢圓方程可求．

（1）依題意，直線顯然不平行于坐標軸，故可化為.

將代入，消去，

得，①

由直線與橢圓相交于兩個不同的點，

，整理得.

（2）設，.由①，得，

因為，得，代入上式，得.

于是，的面積，

其中，上式取等號的條件是，即.

由，可得.

將，及，

這兩組值分別代入①，均可解出.

所以，的面積取得最大值時橢圓的方程是

.