Question

如圖所示的三棱錐P-ABC中，底面三角形ABC是邊長為2的正三角形且PA=2，PA⊥底面ABC，求此三棱錐外接球的球心到側面PAB的距離．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：由已知結合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，可得球的半徑R，再求三棱錐外接球的球心到側面PAB的距離．

解答： 解：該三棱錐是如圖所示正三棱柱的一部分，故它們的外接球相同．
設上、下底面正三角形的中心分別為O₁，O₂，則外接球的球心O為線段O₁O₂的中點，且O₁O₂⊥底面ABC．
連接AO，AO₂．
因為底面三角形ABC是邊長為2的正三角形且PA=2，可得OO₂=1，AO₂=

2 3

3

．
在Rt△OO₂A中，AO²=A

O

2 2

+O

O

2 2

=

7

3

，即三棱錐的外接球半徑為

21

3

．
△PAB的外接圓半徑為

2

，設球心到側面PAB的距離為d，則d²+（

2

）²=

7

3

，解得d=

3

3

．（12分）

點評：本題考查的知識點是球內接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵．