Question

【題目】已知二次函數滿足，且．

（）求的解析式．

（）若函數在區間上是單調函數，求實數的取值范圍．

（）若關于的方程有區間上有唯一實數根，求實數的取值范圍（相等的實數根算一個）．

Answer 1

【答案】（1）.

(2).

(3).

【解析】試題分析：（1）只要設，代入已知條件即可求得；（2）由（1）知是二次函數，其單調性與對稱軸有關，題意說明其對稱軸不在區間上；（3）關于的方程是二次方程，它在區間上有唯一實數根，可能是在上是兩個相等的實根，也可能是一根在此區間上，另一根在此區間外（注意區間端點的討論）．

試題解析：（1）設，代入，

得，對于恒成立，故，

又由，得，解得，

∴．

（2）因為 ，

又函數在上是單調函數，故或，

截得或．

故實數的取值范圍是．

（3）由方程得，

令，，

即要求函數在上有唯一的零點，

①，則，代入原方程得或3，不合題意；

②若，則，代入原方程得或2，滿足提議，故成立；

③若△，則，代入原方程得，滿足提議，故成立；

④若且且時，由得．

綜上，實數的取值范圍是．