Question

在平面直角坐標系中，橢圓為
（1）若一直線與橢圓交于兩不同點，且線段恰以點為中點，求直線的方程；
（2）若過點的直線（非軸）與橢圓相交于兩個不同點試問在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標及實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）在軸上存在定點，使恒為定值。

本試題主要是考查了直線與圓的位置關系綜合運用。
（1）點在橢圓內部，直線與橢圓必有公共點
再利用點差法得到中點坐標與直線斜率的關系式，
（2）假定存在定點，使恒為定值
由于直線不可能為軸
于是可設直線的方程為且設點
將代入得到一元二次方程，進而利用向量的關系得到參數的值。
解：（1）點在橢圓內部，直線與橢圓必有公共點
設點，由已知，則有
兩式相減，得
而直線的斜率為
直線的方程為
（2） 假定存在定點，使恒為定值
由于直線不可能為軸
于是可設直線的方程為且設點
將代入得
.
顯然
，
則


若存在定點使為定值（與值無關），則必有

在軸上存在定點，使恒為定值