Question

（本小題滿分14分）
已知直線經(jīng)過橢圓S：的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對(duì)任意，求證：．

Answer 1

解：（1）在直線中令得；令得
，  
則橢圓方程為
（2）①,,M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，所以
（3）法一：將直線PA方程代入，解得，記，則
，，于是，故直線AB方程為
代入橢圓方程得，由，因此
，
   
法二：由題意設(shè)，
A、C、B三點(diǎn)共線，又因?yàn)辄c(diǎn)P、B在橢圓上，
，兩式相減得：

略