Question

已知函數f（x）=x²+ax+2，g（x）=2e^x（x+b），若曲線y=g（x）經過點P（0，2），且在點P處直線y=f（x）和y=g（x）有相同的切線（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若F（x）=x（f（x）+2），如果存在x₁，x₂∈[-3，-1]，使得F（x₁）-F（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（Ⅲ）當k＞1時，討論方程kg（x）-f（x）=0在[2，+∞）上解的個數．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,根的存在性及根的個數判斷,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）把點P（0，2）代入g（x）求出b的值，再求出g′（x）以及切線得斜率，求出f′（x）再由斜率相等求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出得F（x）的解析式，求出導數F′（x）后，再求出函數F（x）的單調區(qū)間、最大值和最小值，然后求出F（x）_max-F（x）_min，從而求出滿足條件的最大整數M；
（Ⅲ）根據條件構造函數h（x）=kg（x）-f（x），再求出h′（x），由k和x范圍判斷出函數h（x）的單調性，求出函數h（x）的范圍，判斷出函數h（x）的圖象與x軸交點個數，從而判斷出方程的解的個數．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線g（x）=2e^x（x+b）經過點P（0，2），
∴2b=2，則b=1，
∴g（x）=2e^x（x+1），則g′（x）=2e^x（x+2），
∴在點P（0，2）處曲線y=g（x）的切線的斜率是k=4，
∵f′（x）=2x+a，且在點P處曲線y=f（x）和y=g（x）有相同的切線，
∴a=4，
故a，b的值分別為4、1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，F(xiàn)（x）=x（f（x）+2）=x（x²+4x+4）=x³+4x²+4x，
∴F′（x）=3x²+8x+4=（3x+2）（x+2），則當x=-2或x=-

2

3

時，F(xiàn)′（x）=0，
∴當x∈（-3，-2）時，F(xiàn)′（x）＞0，則函數F（x）在∈（-3，-2）單調遞增；
當x∈（-2，-1）時，F(xiàn)′（x）＜0，則函數F（x）在∈（-2，-1）單調遞減；
∴x∈[-3，-1]時，函數F（x）最大值是F（-2）=0，
又∴F（-3）=-3，F(xiàn)（-1）=-1，則函數F（x）最小值是-3，
∵存在x₁，x₂∈[-3，-1]，使得F（x₁）-F（x₂）≥M成立，
∴[F（x₁）-F（x₂）]_max=F（x）_max-F（x）_min=0-（-3）=3≥M，
則滿足條件的最大整數M是3；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1），
設h（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
則h′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），
h′（x）＞0可得
由題意得，k＞1且x∈[2，+∞），所以x+2＞0，ke^x-1＞0，
∴h′（x）＞0，則h（x）在[2，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（2）=6ke²-14＞0，
即函數h（x）的圖象在[2，+∞）上與x軸無交點，
故方程kg（x）-f（x）=0在[2，+∞）上解的個數是0個．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，方程的實數根與函數圖象的關系，以及函數恒成立問題和利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，同時考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．