Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將m=2代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從而逐項(xiàng)斜率為k=3，進(jìn)而求出切線方程；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=2lnx+x，
f′(x)=

2

x

+1，f′(1)=

2

1

+1=3，
f（1）=2ln1+1=1，
所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：
y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′(x)=

2m

x

+m-1=

2m+(m-1)x

x

；
（1）當(dāng)m≥1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；   
（2）當(dāng)m＜1時(shí)，令f'（x）=0，解得x=

2m

1-m

．
當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減；     
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）變化狀態(tài)如下表：

x	（0， 2m 1-m ）	2m 1-m	（ 2m 1-m ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

∴f（x）在(0，

2m

1-m

)單調(diào)遞增，在(

2m

1-m

，+∞)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．