Question

【題目】設函數，其中為已知實常數，，則下列命題中錯誤的是（ ）

A.若，則對任意實數恒成立；

B.若，則函數為奇函數；

C.若，則函數為偶函數；

D.當時，若，則 （）．

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用兩角和的余弦公式化簡表達式.

對于A選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出A選項為真命題.

對于B選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出為奇函數，由此判斷出B選項為真命題.

對于C選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出為偶函數，由此判斷出C選項為真命題.

對于D選項，根據、，求得的零點的表達式，由此求得 （），進而判斷出D選項為假命題.

.

不妨設 ．為已知實常數.

若，則得 ；若，則得．

于是當時，對任意實數恒成立，即命題A是真命題；

當時，，它為奇函數，即命題B是真命題；

當時，，它為偶函數，即命題C是真命題；

當時，令，則

，

上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．

將該方程的兩邊同除以得

，令 （），

則 ，解得 （）．

不妨取 ， （且），

則，即 （），所以命題D是假命題．

故選：D