Question

【題目】已知函數 （a＞0，a≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）當x∈（n，a﹣2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數 （a＞0，a≠1）是奇函數．

∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．

（2）解：由（1）及題設知： ，

設 ，

∴當x1＞x2＞1時，

∴t1＜t2．

當a＞1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數．

同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數．

（3）解：由題設知：函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），

∴①當n＜a﹣2≤﹣1時，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設知：f（x）在為增函數，由其值域為（1，+∞）知 （無解）；

②當1≤n＜a﹣2時，有a＞3．由（1）及（2）題設知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數，由其值域為（1，+∞）知

得 ，n=1

【解析】（1）根據奇函數的定義可知f（﹣x）+f（x）=0，建立關于m的等式關系，解之即可；（2）先利用函數單調性的定義研究真數的單調性，討論a的取值，然后根據復合函數的單調性進行判定；（3）先求函數的定義域，討論（n，a﹣2）與定義域的關系，然后根據單調性建立等量關系，求出n和a的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解對數函數的單調性與特殊點的相關知識，掌握過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數;0>a>1時在（0，+∞）上是減函數．