Question

設f（x）=x³-3x（x∈R）．
（1）求函數y=f（x）的極值并作出函數的圖象（要求標明極值點以及與坐標軸的交點）；
（2）若方程f（x）-a=0有2個相異的實數根，求實數a．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，根據函數極值和函數導數之間的關系，即可求函數y=f（x）的極值；
（2）利用數形結合即可求出a的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，解得x＞1或x＜-1，此時函數單調遞增，
當f′（x）＜0，即-1＜x＜1時．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	單調遞增	2	單調遞減	-2	單調遞增

因此，當x=-1時，f（x）有極大值，且極大值為f（-1）=2；
當x=1時，f（x）有極小值，且極小值為f（1）=-2，
由f（x）=x³-3x=0，解得x=0，x=±

3

，即交點坐標為（0，0），（

3

，0），（-

3

，0）．
則函數的圖象如圖：
（2）若方程f（x）-a=0有2個相異的實數根，
即等價為a=f（x）有兩個相異的實數根，
則a=2或a=-2．

點評：本題主要考查函數極值的求解，利用函數極值和函數導數之間的關系是解決本題的關鍵．