【題目】已知函數f（x）=x4﹣2x3 ， g（x）=﹣4x2+4x﹣2，x∈R．
（1）求f（x）的最小值；
（2）證明：f（x）＞g（x）．
【答案】
（1）解： f′（x）=4x3﹣6x2=2x2（2x﹣3），
令f′（x）＞0，解得：x＞ 
，令f′（x）≤0，解得：x≤ ，
故f（x）在（﹣∞， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
故f（x）min=f（ ）= 
﹣2× 
=﹣ 
（2）證明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2，x∈R．
則F′（x）=4x3﹣6x2+8x﹣4．
∴F″（x）=12x2﹣12x+8=12 
+5＞0．
∴函數F′（x）在R上單調遞增，∴函數F′（x）在R上至多存在一個零點．
又F′（0）=﹣4＜0，F′（1）=2＞0，
∴函數F′（x）在R上存在一個零點x0∈（0，1）．
∴2 
﹣3 
+4x0﹣2=0．
∴函數F（x）在（﹣∞，x0）上單調遞減；在（x0，+∞）上單調遞增．
∴F（x）min=F（x0）= 
﹣2 + 
﹣4x0+2= 
（2 ﹣3 +4x0﹣2）+ 
﹣2x0+
= 
+ 
＞0，
∴f（x）＞g（x）
【解析】（1）f′（x）=4x3﹣6x2=2x2（2x﹣3），利用導數研究其單調性極值即可得出．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2，x∈R．可得F′（x）=4x3﹣6x2+8x﹣4．由于F″（x）=12x2﹣12x+8＞0．可得函數F′（x）在R上單調遞增，函數F′（x）在R上至多存在一個零點．又F′（0）=﹣4＜0，F′（1）=2＞0，可得函數F′（x）在R上存在一個零點x0∈（0，1）．只要證明F（x）min=F（x0）＞0，即可得出．
口算題天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A是圓C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一點，點A關于直線x＋2y－1＝0的對稱點也在圓C上，則實數a的值為（ ）
A.10
B.－10
C.－4
D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓 
，直線 
.
（1）若直線 
與圓 
交于不同的兩點 
，當 
時，求 
的值；
（2）若 
是直線 上的動點，過 
作圓 的兩條切線 
，切點為 
，探究：直線 
是否過定點？若過定點則求出該定點，若不存在則說明理由；
（3）若 
為圓 的兩條相互垂直的弦，垂足為 
，求四邊形 
的面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的函數y=（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零點．
（1）求m的范圍；
（2）若函數有兩個不同零點，且其倒數之和為﹣4，求m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知i是虛數單位，a，b∈R，z1=a﹣1+（3﹣a）i，z2=b+（2b﹣1）i，z1=z2 ．
（1）求a，b的值；
（2）若z=m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求證：|z+a+bi|≥ 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形 
中， 
， 
， 
， 
為線段 
的中點，將 
沿 
折起，使平面 
平面 
，得到幾何體 
.
（1）若 
分別為線段 
的中點，求證： 
平面 
；
（2）求證： 
平面 ；
（3）求 
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x+ 
﹣3lnx（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的一個極值點，求a值及f（x）的單調區間；
（2）當a=﹣2時，求f（x）在區間[1，e]上的最值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在△ABC中，三角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其滿足（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA），AF=2FC，則 
的取值范圍為 ．
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