Question

【題目】已知關于x的函數y=（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零點．
（1）求m的范圍；
（2）若函數有兩個不同零點，且其倒數之和為﹣4，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m+6=0時，m=﹣6，函數為y=﹣14x﹣5顯然有零點．

當m+6≠0時，m≠﹣6，由△=4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）=﹣36m﹣20≥0，得m≤﹣ ．

∴當m≤﹣ 且m≠﹣6時，二次函數有零點．

綜上可得，m≤﹣ ，即m的范圍為（﹣∞，﹣ ]

（2）解：設x1，x2是函數的兩個零點，則有 x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

∵ + =﹣4，即 =﹣4，

∴﹣ =﹣4，解得m=﹣3．

且當m=﹣3時，m+6≠0，△＞0，符合題意，

∴m的值為﹣3

【解析】（1）當m+6=0時，即m=﹣6時，滿足條件．當m+6≠0時，由≥0求得m≤﹣ 且m≠﹣6．綜合可得m的范圍．（2）設x1，x2是函數的兩個零點，由條件并利用一元二次方程根與系數的關系求得m的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和函數的零點的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．