Question

【題目】如圖，某公園內有一個以O為圓心，半徑為5百米，圓心角為的扇形人工湖OAB，OM、ON是分別由OA、OB延伸而成的兩條觀光道．為便于游客觀光，公園的主管部門準備在公園內增建三條觀光道，其中一條與相切點F，且與OM、ON分別相交于C、D，另兩條是分別和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不與O重合)．

(1) 求新增觀光道FG、FH長度之和的最大值；

(2) 在觀光道ON段上距離O為15百米的E處的道路兩側各有一個大型娛樂場，為了不影響娛樂場平時的正常開放，要求新增觀光道CD的延長線不能進入以E為圓心，2.5百米為半徑的圓形E的區域內．則點D應選擇在O與E之間的什么位置？請說明理由．

Answer 1

【答案】 (1) 新增觀光道FG、FH長度之和的最大值是百米；(2) 點D應選擇在O與E之間，且到點O的距離在區間 (單位：百米)內的任何一點處．

【解析】

（1）連結OF，OF⊥CD于點F，則OF＝5．設∠FOD＝θ，則FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ，利用兩角和與差的正弦公式化簡，即可得到新增觀光道FG、FH長度之和的最大值；

（2）以O為坐標原點，以ON所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy．可得圓O的方程，圓E的方程，根據直線和圓的位置關系得到答案即可.

(1) 連結OF，OF⊥CD于點F，則OF＝5．設∠FOD＝θ，

則∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，

則FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ

＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋)，

因為＜θ＜，所以＜θ＋＜，

所以當θ＋＝，即θ＝時，(FG＋FH)max＝．

(2) 以O為坐標原點，以ON所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy．

由題意，可知直線CD是以O為圓心，5為半徑的圓O的切線，直線CD與圓E相離，且點O在直線CD下方，點E在直線CD上方．由OF＝5，圓E的半徑為2.5，因為圓O的方程為x2＋y2＝25，

圓E的方程為(x－15)2＋y2＝6.25，

設直線CD的方程為y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，

即kx－y＋t＝0，設點D(xD，0)

則

由①得t＝5，

代入②得，解得k2>．

又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．

在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．

答：(1) 新增觀光道FG、FH長度之和的最大值是百米；

(2) 點D應選擇在O與E之間，且到點O的距離在區間 (單位：百米)內的任何一點處．