Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）當a＞0時，討論f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=x²-2x，若對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，（x＞0）；從而討論導數的正負以確定函數的單調性；
（2）由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x），從而求導確定函數的最值，從而由最值確定a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，（x＞0）；
①當0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2，增區間是（0，2）和（

1

a

，+∞），減區間是（2，

1

a

）．
②當a=

1

2

時，f′（x）=

(x-2)2

2x

，故f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
③當a＞

1

2

時，0＜

1

a

＜2，增區間是（0，

1

a

）和（2，+∞），減區間是（

1

a

，2）．
（2）由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x）．
由已知，g_max（x）=0，
當a≤0時，x＞0，ax-1＜0，在區間（0，2]上，f′（x）＞0；f（x）在（0，2]上單調遞增，
結合（1）可知：
①當a≤

1

2

時，f（x）在（0，2]上單調遞增，
故f_max（x）=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，故ln2-1＜a≤

1

2

．
②當a＞

1

2

時，f（x）在（0，

1

a

]上單調遞增，在[

1

a

，2]上單調遞減，
故f_max（x）=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f_max（x）＜0，
綜上所述，a＞ln2-1．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．