Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為（其中為常數(shù)）.

（1）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)之間的最小距離.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）由，可得到M的普通方程，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得N的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象，分析即可得到.

（2）設(shè)M上的任意一點(diǎn)為，由點(diǎn)到直線的距離公式求出該點(diǎn)到曲線N的距離，轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，求解即可.

（1）由，

得曲線M的普通方程為，

曲線N的直角坐標(biāo)方程為.如圖：

當(dāng)曲線N過(guò)點(diǎn)時(shí)曲線M與曲線N只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).

當(dāng)曲線N過(guò)點(diǎn)時(shí)，.

當(dāng)曲線N與曲線M相切時(shí)，由

得，

解得.

結(jié)合圖像可得或.

（2）當(dāng)時(shí)，曲線，設(shè)M上的任意一點(diǎn)為，則

該點(diǎn)到曲線N的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，滿(mǎn)足，所以所求的最小距離為.